(1.) Jika 25ⁿ - 15ⁿ = 9ⁿ,
buktikan jika n = lnφ ÷ (ln5-ln3)
(2) Jika ⁿ√9 + ⁿ√6 = ⁿ√4,
buktikan jika n = (ln2-ln3) ÷ lnφ
[tex]\sf (3)\:\:Jika\:\:\:2^x-2^y=2016,\:\:\:buktikan\\jika\:\:\:f^{-1}(x)=\:^2log(2^x+2016)[/tex]
- Pernyataan bahwa jika 25ⁿ – 15ⁿ = 9ⁿ maka n = ln φ ÷ (ln 5 – ln 3) TERBUKTI.
- Pernyataan bahwa jika ⁿ√9 + ⁿ√6 = ⁿ√4 maka n = (ln 2 – ln 3) ÷ ln φ TERBUKTI.
- Pernyataan bahwa jika [tex]\bf2^x-2^y=2016[/tex] maka [tex]\bf f^{-1}(x)={}^2\log\left(2^x+2016\right)[/tex] TERBUKTI.
Pembahasan
Nomor 1
Pernyataan yang ingin dibuktikan:
Jika 25ⁿ – 15ⁿ = 9ⁿ maka n = ln φ ÷ (ln 5 – ln 3).
Langkah Pembuktian
[tex]\begin{aligned}&25^n-15^n\:=\:9^n\\&{\Rightarrow\ }\left(5^2\right)^n\:-\:3^n5^n\:=\:\left(3^2\right)^n\\&{\Rightarrow\ }\left(5^n\right)^2\:-\:3^n5^n\:=\:\left(3^n\right)^2\\&\textsf{Ambil $a=5^n,\ b=3^n$}\\&{\Rightarrow\ }a^2-ba=b^2\\&{\Rightarrow\ }a^2-ba+\frac{b^2}{4}=b^2+\frac{b^2}{4}\\&{\Rightarrow\ }\left(a-\frac{b}{2}\right)^2=\frac{5b^2}{4}\\&{\Rightarrow\ }a-\frac{b}{2}=\pm\sqrt{\frac{5b^2}{4}}\\&{\Rightarrow\ }a=\frac{b}{2}\pm\frac{b\sqrt{5}}{2}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }a=\frac{b\pm b\sqrt{5}}{2}=\left(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right)b\\&{\Rightarrow\ }\frac{a}{b}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{Substitusi kembali $a\leftarrow5^n,\ b\leftarrow3^n$}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }\frac{5^n}{3^n}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }\left(\frac{5}{3}\right)^n=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }n={}^{(5/3)}\log\left(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right)\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{Eliminasi numerus yang invalid}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }n={}^{(5/3)}\log\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\\\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{\underline{Golden ratio}: $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }n={}^{(5/3)}\log\varphi=\frac{{}^e\log\varphi}{{}^e\log(5/3)}\\\vphantom{\bigg|}&{\Rightarrow\ }n=\frac{{}^e\log\varphi}{{}^e\log5-{}^e\log3}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}&{\therefore\ \ }n=\frac{\ln\varphi}{\ln5-\ln3}\end{aligned}[/tex]
KESIMPULAN
∴ Pernyataan bahwa jika 25ⁿ – 15ⁿ = 9ⁿ maka n = ln φ ÷ (ln 5 – ln 3) TERBUKTI.
[tex]\blacksquare[/tex]
Nomor 2
Pernyataan yang ingin dibuktikan:
Jika ⁿ√9 + ⁿ√6 = ⁿ√4 maka n = (ln 2 – ln 3) ÷ ln φ.
Kita buktikan dengan cara serupa penyelesaian soal nomor 1.
Langkah Pembuktian
[tex]\begin{aligned}&\sqrt[n]{9}+\sqrt[n]{6}=\sqrt[n]{4}\\&\Rightarrow \sqrt[n]{4}\:-\:\sqrt[n]{6}=\sqrt[n]{9}\\&\Rightarrow \left(2^2\right)^{1/n}\:-\:3^{1/n}\cdot2^{1/n}=\left(3^2\right)^{1/n}\\&\Rightarrow \left(2^{1/n}\right)^2\:-\:3^{1/n}\cdot2^{1/n}=\left(3^{1/n}\right)^2\\&\textsf{Ambil $a=2^{1/n},\ b=3^{1/n}$}\\&\Rightarrow a^2-ba=b^2\\\end{aligned}[/tex]
Dari penyelesaian soal nomor 1 di atas, solusi dari persamaan terakhir adalah:
[tex]\dfrac{a}{b}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]
Maka, langkah selanjutnya:
[tex]\begin{aligned}\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{Substitusi kembali $a\leftarrow2^{1/n},\ b\leftarrow3^{1/n}$}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow \frac{2^{1/n}}{3^{1/n}}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^{1/n}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow \frac{1}{n}={}^{(2/3)}\log\left(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right)\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{Eliminasi numerus yang invalid}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow \frac{1}{n}={}^{(2/3)}\log\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)\\\vphantom{\Big|}&\quad\to\textsf{\underline{Golden ratio}: $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow \frac{1}{n}={}^{(2/3)}\log\varphi\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow n={}^{\varphi}\log(2/3)=\frac{{}^e\log(2/3)}{{}^e\log\varphi}\\\vphantom{\bigg|}&\Rightarrow n=\frac{\ln(2/3)}{\ln\varphi}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}\vphantom{\bigg|}&\therefore\ n=\frac{\ln2-\ln3}{\ln\varphi}\end{aligned}[/tex]
KESIMPULAN
∴ Pernyataan bahwa jika ⁿ√9 + ⁿ√6 = ⁿ√4, maka n = (ln 2 – ln 3) ÷ ln φ TERBUKTI.
[tex]\blacksquare[/tex]
Nomor 3
Pernyataan yang ingin dibuktikan:
Jika [tex]\bf2^x-2^y=2016[/tex] maka [tex]\bf f^{-1}(x)={}^2\log\left(2^x+2016\right)[/tex].
Langkah Pembuktian
[tex]\begin{aligned}&2^x-2^y=2016\\&\Rightarrow 2^x=2^y+2016\\&\Rightarrow x={}^2\log\left(2^y+2016\right)\\&\Rightarrow g(y)={}^2\log\left(2^y+2016\right)\end{aligned}[/tex]
Fungsi [tex]g(y)[/tex] menyatakan [tex]g:y\to x[/tex], yang merupakan invers dari [tex]f:x\to y[/tex].
Oleh karena itu, dengan mengganti variabel [tex]y[/tex] menjadi [tex]x[/tex], diperoleh:
[tex]\begin{aligned}&f^{-1}(x)=g(x)={}^2\log\left(2^x+2016\right)\end{aligned}[/tex]
KESIMPULAN
∴ Pernyataan bahwa jika [tex]\bf 2^x-2^y=2016[/tex] maka [tex]\bf f^{-1}(x)={}^2\log\left(2^x+2016\right)[/tex] TERBUKTI.
[tex]\blacksquare[/tex]
________________
Kesimpulan Tambahan
Dari penyelesaian soal nomor 1 dan nomor 2, dapat diperoleh kesimpulan tambahan, yang terdapat pada lampiran (dilampirkan karena konten jawaban sudah mencapai jumlah maksimum karakter).
[answer.2.content]
